Le sujet 2009 - Bac S - Physique - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet simule l'atterrissage d'une navette spatiale par une chute freinée de ballons de baudruche. Sujet très intéressant. Résolution théorique proche du cours mais applications numériques délicates. |
Frottements
avec l'air : qu'en dit la NASA ?
(5,5
points)
La question 6 est indépendante des précédentes.
Intrigué par
la notion de frottement fluide introduite en classe, un élève
recherche des informations sur la notion de force de traînée.
Sur le site de la NASA, "National Aeronautics and Space
Administration", dont l'activité se partage entre domaine
spatial et aéronautisme, l'élève trouve :
"La
force de traînée sur un avion ou une navette dépend
de la densité de l'air, du carré de la vitesse, de la
viscosité et de la compressibilité de l'air, de la
taille et de la forme de l'objet ainsi que de son inclinaison par
rapport à l'écoulement d'air. En général,
la dépendance à l'égard de la forme du corps, de
l'inclinaison, de la viscosité et de la compressibilité
de l'air est très complexe." (d'après
www.nasa.gov)
A l'issue de cette recherche, l'élève
dégage deux modèles pour rendre compte des frottements
exercés par l'air sur les objets.
● modèle 1 : les frottements dépendent, entre autres, de la viscosité de l'air ηair et de la valeur v de la vitesse du centre de gravité G du système. On exprime alors la force sous la forme :
● modèle 2 : les frottements dépendent, entre autres, de la masse volumique de l'air ρair et du carré de v. On écrit alors la force sous la forme :
Les constantes A et B sont liées à la forme du corps et à son inclinaison.
Le choix entre ces deux modèles est lié à l'expérience. Son professeur lui conseille de les appliquer à la chute verticale d'une grappe de ballons de baudruche dont il peut lui fournir le film. Il lui donne également les valeurs approchées des constantes A et B
Un logiciel adapté permet d'obtenir la courbe d'évolution temporelle de la valeur v de la vitesse du centre d'inertie G du système de la figure 2 de l'annexe.
Le système fourni par l'ensemble des ballons de baudruche, de masse m et de volume total V, est lâché sans vitesse initiale, dans le champ de pesanteur uniforme et vertical.
Toute l'étude de cet exercice est faite dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère (O ; ) dont l'axe Oz vertical est orienté vers le bas. On pose vz = v, valeur de la vitesse du centre d'inertie G du système.
Données
pour l'objet étudié :
Valeurs approchées
de A et B calculées à partir de la
géométrie de
l'objet :
A ≈ 1 × 101 m
B ≈ 2 × 10-2 m²
masse
du système : m = 22 g
valeur du
champ de pesanteur : g = 9,8 m.s-2
masse
volumique de l'air : ρair = 1,2kg.m-3 = 1,2 g.L-1
viscosité
dynamique de l'air : ηair = 2 × 10-5 kg.m-1.s-1
1. Rappeler ce que signifie le caractère uniforme du champ de pesanteur.
2.
Le système est soumis à trois forces, son poids,
les frottements
et la poussée d'Archimède.
Donner
les caractéristiques de la poussée d'Archimède.
3. Si l'on choisit le modèle 1, montrer que dans le référentiel terrestre (supposé galiléen), la vitesse v vérifie l'équation différentielle :
De la même façon, montrer que pour le modèle 2 on obtient l'équation suivante :
4. Accélération initiale
4.1. Déduire
des équations différentielles l'expression littérale
de a0, valeur de l'accélération à
la date t = 0, en fonction de m, V, g
et ρair. (On pourra prendre indifféremment
l'une de l'autre des deux équations différentielles
pour trouver l'expression littérale de a0).
4.2.
Vérifier par une méthode graphique, sur la figure 2
de l'annexe, que la valeur de l'accélération
initiale a0 est de l'ordre de a0 = 6 m.s-2.
4.3.
Retrouver cette valeur par un calcul sachant que le volume V
du système est de l'ordre de 7 L.
5. Vitesse limite
5.1.
Déterminer graphiquement sur la figure de l'annexe, la
valeur de la vitesse limite vlim. La construction
graphique devra apparaître sur la figure.
5.2. À
l'aide de l'équation différentielle, démontrer
dans le cas du modèle 1 que l'expression de cette vitesse
limite est :
On admet également dans le cas du modèle 2 que :
5.3. Calculer
la valeur approchée de vlim,1 en utilisant
les données fournies en début d'énoncé.
On rappelle que le volume V du système est de l'ordre
de 7 L.
5.4. Sachant que vlim,2 = 2 m.s-1,
comparer ces deux vitesses limites avec la valeur vlim
trouvée expérimentalement. En déduire lequel des
deux modèles est le plus adapté à l'étude
réalisée.
6. Force de frottement et énergie : retour de la navette spatiale
Le travail de la force de frottement est dissipé sous forme de chaleur ; le bouclier thermique des navettes spatiales est destiné à les protéger lors de leur entrée dans l'atmosphère.
Pour l'expliquer sur
un forum, l'élève a rédigé le texte
suivant :
«La navette pèse 70 tonnes ; elle
quitte une orbite basse (250 km) autour de la Terre et se
déplace à environ 28 000 km/h par rapport à
la Terre lorsqu'elle amorce sa descente. Le plus problématique
avant l'atterrissage n'est pas de descendre de 250 km, mais de
ralentir afin que la vitesse soit d'environ 400 km/h. Pour
cela il faut dissiper environ 2 térajoules en 2 000
secondes, soit 1 mégawatt moyen ! Actuellement,
cette énergie est dissipée sous forme de chaleur lors
du frottement de la navette avec l'air de l'atmosphère ;
l'énergie cinétique diminue, la navette ralentit et se
réchauffe».
6.1. Citer
les noms de formes d'énergie que possède la navette en
orbite autour de la Terre.
6.2. Dans la phrase : «...
il faut dissiper 2 térajoules en 2 000 secondes,
soit 1 mégawatt moyen», donner le nom de deux
grandeurs physiques dont les valeurs numériques sont
soulignées.
6.3. En ne prenant en compte que la
variation de la vitesse comme le suggère l'élève,
calculer la valeur de deux grandeurs citées dans la question
précédente, à partir des données fournies
dans le texte.
Vos résultats sont-ils en accord avec ceux
de l'élève ?
Rappels : 1 térajoule = 1 TJ = 1012 J 1 mégawatt = 1 MW = 105 W
I - LES RESULTATS
1. est le même partout.
2. est vertical vers le haut et de valeur
3. Il suffit de projeter la deuxième loi de Newton sur Oz
4.1.
4.2. a0 est la pente de la tangente à l'origine.
4.3.
5.1.
5.2.
On applique
dans (1) et on remplace v par
5.3.
Le
deuxième modèle est mieux adapté.
6.1. Energie cinétique et potentielle de pesanteur.
6.2. Energie et puissance
6.3. L'énergie à dissiper est
C'est en accord avec l'élève.
P=1GW
Ce n'est
pas en accord avec l'élève.
II - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
1. On dit que le champ de pesanteur est uniforme si est identique en tout point de l'espace (mêmes direction, sens et valeur).
2.
Caractéristiques de
:
a.
direction : la verticale du lieu
b.
sens : dirigé vers le haut
c.
valeur : poids du volume de fluide déplacé
Attention à ne pas confondre v et V
3. On applique la deuxième loi de Newton
On projette sur
l'axe Oz
Attention
l'axe est orienté vers le bas
car
vz = v (énoncé)
donc
(1)
De même en remplaçant
On projette sur l'axe Oz
donc
(2)
4.1. à
t = 0 s on a v = 0 m.s-1
donc
(1) ou (2) devient
d'où
soit
4.2. a0
est la pente de la tangente à l'origine
(notée )
Graphiquement,
4.3.
Attention
aux unités (ici g et L)
On ne garde qu'un chiffre
significatif (car V vaut environ 7 L)
5.1. On
utilise l'asymptote
de v(t)
Graphiquement,
5.2.
Lorsque t devient grand, la vitesse n'évolue plus,
c'est-à-dire que
5.3. Il
est préférable ici de revenir au système légal
d'unités.
On ne gardera qu'un chiffre significatif au
résultat.
5.4. De toute évidence, le deuxième modèle est mieux adapté ; en effet, 2 est plus proche de 2,7 que ne l'est 700.
6.1. La
navette en orbite possède de l'énergie cinétique
et de l'énergie potentielle de pesanteur.
6.2. 2
térajoules correspond à une
énergie
1
mégawatt correspond à une
puissance
6.3. On applique le théorème de
l'énergie mécanique à la navette en ne tenant
compte que de la variation de vitesse qui passe de 28 000 km/h à
400 km/h.
ce qui correspond
bien à une dissipation de 2 térajoules.
Pour la
puissance
Ce qui n'est pas en accord avec les 1MW annoncés par l'élève.
III - LES OUTILS : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
Compétences
expérimentales
●
Analyser les résultats expérimentaux et
les confronter aux prévisions d'un modèle
Connaissances et
savoir-faire exigibles
●
Définir un champ de pesanteur uniforme
● Connaître
les caractéristiques de la poussée d'Archimède
●
Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute
verticale dans un fluide et établir l'équation
différentielle du mouvement, la force de frottement étant
donnée.
● Savoir exploiter des courbes vG = f(t)
pour :
reconnaître
le régime initial et/ou le régime
asymptotique.
évaluer
le temps caractéristique correspondant au passage d'un régime
à l'autre.
déterminer
la vitesse limite.
IV - LES DELIMITATIONS DE L'EXERCICE
Exercice sur la
chute verticale avec frottement fluide où l'on met en
parallèle la chute d'une "grappe" de ballons de
baudruche avec le retour d'une navette spatiale ! Cette partie
de programme n'était pas "tombée" depuis
2004.
On aurait pu retrouver un exercice sur la méthode
d'Euler mais non, l'exercice est bien plus intéressant :
il fait appel à de nombreuses compétences exigibles
transversales mais, malgré cela, les compétences
testées sont clairement identifiables et la tournure adoptée
permet d'aller à l'essentiel.
Cet exercice, sur 5,5 points,
est aussi d'un bon niveau de difficulté.