Le sujet 2009 - Bac STI Génie Electronique - Mathématiques - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet permet par un calcul de probabilités de comparer deux manières de répondre à un QCM. Le sujet ne comporte pas de difficultés majeures mais nécessite néanmoins de bonnes connaissances relatives aux variables aléatoires. |
(5 points)
On
propose à un candidat au baccalauréat un exercice qui
comporte trois questions auxquelles il doit répondre par vrai
ou faux.
Une bonne réponse rapporte 2 points, une mauvaise
réponse enlève 1 point, l'absence de réponse
n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points
est négatif, la note globale attribuée à
l'exercice est 0.
On appelle
●
A l'événement : "le candidat n'a pas répondu
à la question" ;
●
B l'événement : "le candidat a donné
la bonne réponse à la question" ;
●
C l'événement : "le candidat a donné
la mauvaise réponse à la question".
Si, par exemple, le candidat a donné les bonnes réponses aux questions 1 et 2, et la mauvaise réponse à la question 3, le résultat obtenu se note (B, B, C).
Un candidat qui ne
sait répondre à aucune question hésite entre
deux stratégies :
●
soit il répond au hasard aux trois questions ;
●
soit il décide de ne pas répondre à une
question, par exemple la première, et répond au hasard
aux deux autres questions.
I. Première
stratégie : le candidat choisit de ne pas
laisser de questions sans réponse.
Il répond donc au
hasard et de façon équiprobable aux trois questions.
1.
Combien de triplets différents peut-on obtenir ? (On
pourra utiliser un arbre.)
2. Calculer la
probabilité que le candidat n'ait fait aucune faute.
3.
Montrer que la probabilité que le candidat ait fait une faute
et une seule, est égale à 0,375.
4.
On note X la variable aléatoire qui à chaque triplet
associe la note obtenue à l'exercice.
a.
Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire
X.
b. Donner la
loi de probabilité de la variable aléatoire
X.
c. Calculer
l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire
X.
II. Deuxième stratégie : le candidat choisit de ne pas répondre à la première question, et répond au hasard et de façon équiprobable aux deux autres questions.
1.
Combien de triplets différents peut-on obtenir ?
2.
On note Y la variable aléatoire qui à chaque triplet
associe la note obtenue à l'exercice.
a.
Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire
Y.
b. Donner la loi de
probabilité de la variable aléatoire Y.
c.
Calculer l'espérance mathématique E(Y) de la variable
aléatoire Y.
III. Comparaison
des stratégies : parmi les deux
stratégies, quelle est la plus favorable au candidat ?
I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES
DU SUJET
On étudie
deux stratégies différentes pour répondre à
un QCM. Vaut-il mieux répondre au hasard ou ne pas répondre
du tout ?
Il faut savoir interpréter l'espérance
d'une variable aléatoire.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Probabilités
simples
● Lois de probabilité
● Espérance
mathématique
III - LES RESULTATS
I. 1. 8
2.
3. 0,375
4. a.
b.
k |
0 |
3 |
6 |
P({X = k}) |
0,5 |
0,375 |
0,125 |
c.
E(X) = 1,87
II. 1. 4
2. a.
b.
k |
0 |
1 |
4 |
P({Y = k}) |
1/4 |
1/2 |
1/4 |
c.
E(Y) = 1,5
III. La deuxième stratégie est plus favorable pour le candidat.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
I. Première
stratégie
1. Faisons
l'arbre des possibles.
On
détermine ainsi les triplets :
(B, B, B)
(B, B, C) (B, C, B) (B, C, C) (C, B, B)
(C, B, C) (C, C, B) (C, C, C)
Il y a
donc huit triplets différents.
2.
Ne faire aucune faute correspond au seul triplet (B, B, B).
La
probabilité que le candidat ne fasse aucune faute est donc
égale à
.
3.
Les triplets correspondants à une faute et une seule sont :
(B, B, C) (B, C, B) (C, B, B)
La
probabilité que le candidat ait fait une faute et une seule
est donc égale à
.
4.
a. Soit X la variable aléatoire qui à chaque
triplet associe la note obtenue :
●
à (B, B, B) on associe la note 6
●
à (B, B, C) on associe la note 3
●
à (B, C, B) on associe la note 3
●
à (B, C, C) on associe la note 0
●
à (C, B, B) on associe la note 3
●
à (C, B, C) on associe la note 0
●
à (C, C, B) on associe la note 0
●
à (C, C, C) on associe la note 0
d'où
b.
D'où la loi de probabilité de la variable X :
X = k |
0 |
3 |
6 |
P({X = k}) |
0,5 |
0,375 |
0,125 |
c.
II. Deuxième
stratégie
1. Les triplets
possibles sont :
(A, B, B) (A, C, C)
(A, B, C) (A, C, B)
On peut obtenir 4 triplets
différents.
2.
a. Soit Y la variable aléatoire qui à chaque
triplet associe la note obtenue :
●
à (A, B, B) on associe la note 4
●
à (A, C, C) on associe la note 0
●
à (A, B, C) on associe la note 1
●
à (A, C, B) on associe la note 1
b.
D'où la loi de probabilité de Y :
Y = k |
0 |
1 |
4 |
P({Y = k}) |
1/4 |
1/2 |
1/4 |
c.
E(Y) = 1,5
III. On a
E(X) > E(Y) donc la première stratégie est
plus favorable au candidat.