Le sujet 2009 - Bac STI Génie Electronique - Mathématiques - Exercice |
Avis du professeur :
Le sujet porte sur des calculs complexes : - Formes algébriques et trigonométriques - Rotation Le sujet est classique et nécessite de maîtriser des connaissances de base. |
(5 points)
Le
plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
.
On
désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument
1. Soit A le
point d'affixe
.
a.
Déterminer le module et un argument du nombre complexe
zA.
b.
Écrire le nombre complexe zA sous la forme
où r est un nombre réel strictement
positif et
un nombre réel compris entre
.
c.
Placer le point A dans le repère
en prenant comme unité graphique 2 cm.
2. Soit B
l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle
On appelle zB l'affixe du point B.
a.
Déterminer l'écriture du nombre complexe zB
sous la forme
(où
r est un nombre réel
strictement positif et
un nombre réel compris entre
).
b.
Écrire le nombre complexe zB sous forme
algébrique.
c. Placer
le point B dans le repère
.
3. Montrer que le triangle AOB est équilatéral.
a.
Par quelle transformation géométrique le point C est-il
l'image du point A ? Préciser les éléments
caractéristiques de cette transformation.
b.
Placer le point C dans le repère
.
c.
Écrire le nombre complexe zC sous forme
trigonométrique.
En
déduire l'écriture du nombre complexe zC
sous forme algébrique.
e.
Déduire des résultats précédents les
valeurs exactes de
.
I - L'ANALYSE ET LES DIFFICULTES
DU SUJET
● Exercice sur
les complexes ; calculs et applications géométriques.
●
Calculs simples.
●
Connaître les formules reliant formes algébrique
et trigonométrique.
●
Lignes trigonométriques usuelles.
II - LES NOTIONS DU PROGRAMME : SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
● Nombres
complexes.
● Application géométrique des
complexes.
III - LES RESULTATS
1. a. |zA| = 2 ;
b.
c. Placer A :
2. a.
b.
c. Placer B :
3. OAB équilatéral.
4.a. La rotation de centre O et d'angle
b. Placer C :
c.
e.
IV - LES RESULTATS COMMENTES ET DETAILLES
1.
a. Soit θ un argument de zA;
c. Dessin de A.
2. a.
c. Dessin de B.
3. D'après (2,a) : B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle
On en déduit que OAB est équilatéral.
4.
a. C est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle
b. Placement de C.
c.
e. D'après les résultats précédents (2,c) et (2,d) :