Le sujet 2002 - Bac ST2S - Mathématiques - Exercice |
PARTIE A : ETUDE D'UNE FONCTION
Soit f la fonction définie sur l'intervalle I = [ 0 ; 4 ] par f (x) = 1,8 x.e-x + 0,9
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
3,5 |
4 |
F (x) |
1,45 |
1,17 |
1,03 |
PARTIE B : APPLICATION
L'hyperglycémie provoquée par voix orale (HGPO) est un examen médical qui étudie une augmentation provoquée de la glycémie. Celle-ci est dosée à jeun le matin, sans petit déjeuner, puis mesurée après ingestion de 75 grammes de glucose.
On admet que la courbe obtenue dans la partie A du problème représente les valeurs obtenues à partir de mesures réalisées chez un sujet en bonne santé.
Les valeurs de x représentent le temps écoulé, en heures, après l'ingestion des 75 grammes de glucose et les valeurs de f(x) représentent la glycémie en grammes par litre.
Les questions suivantes sont à résoudre graphiquement en faisant apparaître les constructions utiles.
I - QUEL INTERET POUR CE SUJET ?
Calcul de la glycémie en grammes par litre après l'étude d'une fonction exponentielle.
II - LE DEVELOPPEMENT
PARTIE A : Etude d'une fonction
Soit f la fonction définie sur l'intervalle I = [0,4] par
f(x) = 1,8 x e-x + 0,9
1) f '(x) = 1,8 e-x - 1,8 x e-x
f '(x) = (1 - x) ´
1,8 e-x
d'où f '(x) = 1,8 (1 - x) e-x
2) Comme 1,8 e-x > 0 pour tout réel x
alors f '(x) est du signe de 1-x.
.
3) Il en résulte le tableau de variation suivant :
4)
x |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
3,5 |
4 |
f(x) |
0,9 |
1,45 |
1,56 |
1,50 |
1,39 |
1,17 |
1,09 |
1,03 |
5) voir graphique ci-dessous
PARTIE B : Application - lecture graphique
1) Au bout de 2 heures 30 minutes la glycémie de la personne examinée est de 1,27 gramme par litre (g/L).
2) La valeur maximale de la glycémie est de 1,56 g/L. Ce maximum est atteint au bout d'une heure.
3) La glycémie est supérieure à 1,4 g/L au bout de 24 minutes et jusqu'à 1 heure 56 minutes soit 1 heure 32 minutes.
4) Pour que la glycémie du sujet redescende en dessous de 1,1 g/L, il doit s'écouler 3 heures 26 minutes.
III - UN COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
Une calculatrice programmable et un graphique soigné étaient indispensables pour traiter ce problème dans le temps imparti.
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